Запись
целых чисел в двоичной системе счисления
Настало время
разобраться, каким же образом можно записывать любые целые числа с помощью двоичной
системы счисления, т. е. с помощью всего двух цифр "0" и "1".
Замечание
Разумеется,
что записывать можно не только целые, но и дробные, а также любые другие числа,
однако это выходит за рамки, необходимые для того, чтобы в конечном счете
понять, как происходит кодирование и обработка любой интересующей нас информации,
в частности изображений и цвета. Пока же мы не выходим за рамки арифметики,
поэтому — терпение: мы уже на пути к этому.
Исходя из этой
задачи, попробуем составить таблицу чисел, которые "состоят" из цифр
"0" и "1".
Замечание
Как эту задачу
можно определить "обычными" словами (наука наукой, однако за скучными,
точными фразами надо уметь находить обычный план изложения)? То, что мы сказали
("кодировать в двоичной системе счисления"), на самом деле означает
— "как с помощью всего двух цифр написать любое целое число". Можно
также сформулировать нашу задачу фразой "как преобразовать десятичные
числа в двоичные".
Тогда давайте,
рассуждая, заполнять строки таблицы, у которой в левом столбце будут располагаться
привычные нам десятичные числа, а в правом — их эквивалент в двоичной системе
счисления (табл. 4.2).
С нуля начинается
числовая ось натуральных целых чисел. Последующие целые числа получаются с помощью
последовательного прибавления единицы к предыдущему числу.
Итак, число "ноль"
в десятичной и двоичной системах счисления совпадает и обозначается одной и
той же цифрой "О".
Далее переходим
к единице, которая получается прибавлением единицы к нулю. В двоичной системе
счисления, как и в десятичной, используется также одна и та же цифра "1".
Замечание
Еще раз напомним,
что "цифра" и "число" не всегда совпадают. Цифра — это
просто знак, количество цифр ограничено. Число — это математическая категория
количества, чисел бесконечное множество.
Таблица
4.2. Начало таблицы преобразования десятичных чисел в двоичные
| |
|
|
|
| |
Десятичная
система счисления
|
Двоичная
система счисления
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
Затем любой первоклассник
скажет, что после единицы на числовой оси следует двойка, получаемая прибавлением
еще одной единицы.
Для обозначения
числа "два" в десятичной системе счисления предусмотрен специальный
знак — цифра "2". А в двоичной системе счисления весь, прямо скажем,
небогатый запас знаков ("цифр") мы уже исчерпали. Как же быть в этой
ситуации?
Читатели, надеюсь,
не обидятся, если мы снова напомним некоторые сведения первого класса начальной
школы. Итак, вспомним сложение.
2+1 = 3;
8 + 1 = 9;
9 + 1 = ...
Мы получили число
"9" и попытались к нему прибавить "1". Почему же мы остановились?
У нас опять кончились цифры! До этого момента каждое число получало свой особенный
знак или символ — цифру. Последовательно прибавляя "1", мы каждый
раз использовали для этого шага особый знак.
И вот после числа
"9" особые знаки закончились. Цифр больше нет, а числа-то продолжают
возрастать, т. к. числовая ось бесконечна...
Теперь следует
вспомнить позиционный принцип, который мы обсуждали ранее, попробуем применить
его и к двоичной системе счисления.
Информация о позиционном
принципе — в разд. "Позиционный метод записи" данной главы.
Арифметика едина,
и все ее законы едины, независимо от системы счисления. У нас есть только две
цифры, но с их помощью необходимо уметь записывать любое число, расположенное
на длинной числовой оси.
Когда закончились
двоичные цифры, надо снова начинать с нуля, записав в следующую позицию "единицу".
Рассуждая таким образом, мы получаем, что десятичное число "2" у нас
будет представлено двоичным числом "10", т. е. "двоичной десяткой":
12
+ 1 = 102.
Далее, число "3"
десятичной системы станет в двоичной системе числом "11", т. к.
102+
1 = 112.
Замечание
Не следует удивляться
тому, что в десятичной записи число "3" представлено одной цифрой
(одноразрядное), а в двоичной ("11") оно представлено двумя цифрами
(двухразрядное). Более того, следует учесть, что далее этот разрыв будет увеличиваться.
Следующий шаг
снова требует внимания:
112+
1 = ...
Теперь к числу
"И" в двоичной системе прибавляем "1": сумма "1 + 1"
дает "0", но мы при этом переносим "1" в следующий разряд.
В следующем разряде снова получается сумма "1 + 1", т. е. опять "О",
значит, создаем еще один разряд и переносим единицу в этот разряд — в итоге
получается двоичное число "100", т. е. "двоичная сотня":
112+
1 = 1002.
Десятичное число
"4" в двоичной системе представляется числом "100".
Далее, десятичное
число "5" — это двоичное число "101", десятичное число "6"
— это двоичное число "110", а десятичное число "7" — это
двоичное число "111".
Снова добавляется
разряд, следовательно, десятичное число "8" — это уже двоичное число
"1000" ("двоичная тысяча"), десятичное число "9"
— это двоичное число "1001" и, наконец, десятичное число "10",
у него два разряда, представляется двоичным числом "1010", у которого
четыре разряда. И так далее (до бесконечности).
Подводя итог математическому
упражнению для первого класса, мы можем составить таблицу соответствий десятичных
и двоичных чисел, например, в пределах первых двух десятков десятичной системы
счисления (табл. 4.3). Читатели, при желании, могут продолжать ее, пока хватит
терпения.
Таблица
4.3. Соответствие десятичных и двоичных чисел
